Een symbolische methode voor het berekenen van AC-circuits

Een symbolische bewerkingsmethode met vectorgrootheden is gebaseerd op een heel eenvoudig idee: elke vector wordt ontleed in twee componenten: een horizontaal, langs de abscis, en de tweede, verticaal, langs de ordinaat. In dit geval volgen alle horizontale componenten een rechte lijn en kunnen ze worden toegevoegd door eenvoudige algebraïsche optelling, en de verticale componenten worden op dezelfde manier toegevoegd.

Deze benadering resulteert over het algemeen in twee resulterende componenten, een horizontale en een verticale, die altijd naast elkaar liggen in dezelfde hoek van 90°.

Deze componenten kunnen worden gebruikt om het resultaat te vinden, dat wil zeggen voor geometrische optelling. De rechthoekige componenten vertegenwoordigen de benen van een rechthoekige driehoek en hun geometrische som vertegenwoordigt de schuine zijde.

Je kunt ook zeggen dat de geometrische som numeriek gelijk is aan de diagonaal van een parallellogram dat zowel op de componenten als op de zijkanten is gebouwd... Als de horizontale component wordt aangeduid met AG en de verticale component met AB, dan is de geometrische som ( 1)

Het vinden van de geometrische som van rechthoekige driehoeken is veel gemakkelijker dan schuine driehoeken. Het is gemakkelijk te zien dat (2)

wordt (1) als de hoek tussen de componenten 90° is. Aangezien cos 90 = 0 verdwijnt de laatste term in worteluitdrukking (2), waardoor de uitdrukking sterk vereenvoudigd wordt. Merk op dat een van de drie woorden moet worden toegevoegd vóór het woord "som": "rekenkundig", "algebraïsch", "geometrisch".

Afb. 1.

Het woord "bedrag" zonder specificatie leidt tot onzekerheid en in sommige gevallen tot grove fouten.

Bedenk dat de resulterende vector gelijk is aan de rekenkundige som van de vectoren in het geval dat alle vectoren langs een rechte lijn (of evenwijdig aan elkaar) in dezelfde richting gaan. Bovendien hebben alle vectoren een plusteken (Fig. 1, a).

Als de vectoren langs een rechte lijn gaan maar in tegengestelde richtingen wijzen, dan is hun resultaat gelijk aan de algebraïsche som van vectoren, in welk geval sommige termen een plusteken hebben en andere een minteken.

In het diagram van Fig. 1, b U6 = U4 — U5. We kunnen ook zeggen dat de rekenkundige som wordt gebruikt in gevallen waarin de hoek tussen de vectoren nul is, algebraïsch wanneer de hoeken 0 en 180 ° zijn. In alle andere gevallen wordt de optelling vectorieel uitgevoerd, dat wil zeggen dat de geometrische som wordt bepaald (Fig. 1, c).

Voorbeeld... Bepaal de parameters van de equivalente sinusgolf voor het circuit Fig. 2, maar symbolisch.

Antwoord. Laten we vectoren Um1 Um2 tekenen en ze ontbinden in componenten. Uit de tekening blijkt dat elke horizontale component de vectorwaarde is vermenigvuldigd met de cosinus van de fasehoek, en de verticaal is de vectorwaarde vermenigvuldigd met de sinus van de fasehoek. Dan

Afb. 2.

Uiteraard zijn de totale horizontale en verticale componenten gelijk aan de algebraïsche sommen van de overeenkomstige componenten. Dan

De resulterende componenten worden getoond in Fig. 2, geb. Bepaal hiervoor de waarde van Um, bereken de geometrische som van de twee componenten:

Bepaal de equivalente fasehoek ψeq. Afb. 2, b, is te zien dat de verhouding van de verticale tot de horizontale component de tangens is van de equivalente fasehoek.

waar

De aldus verkregen sinusoïde heeft een amplitude van 22,4 V, een beginfase van 33,5 ° met dezelfde periode als de componenten. Merk op dat alleen sinusgolven van dezelfde frequentie kunnen worden toegevoegd, omdat bij het toevoegen van sinuscurven van verschillende frequenties de resulterende curve niet langer sinus is en alle concepten die alleen van toepassing zijn op harmonische signalen in dit geval ongeldig worden.

Laten we nog eens de hele keten van transformaties nagaan die gemaakt moet worden met de wiskundige beschrijvingen van de harmonische golfvormen bij het uitvoeren van verschillende berekeningen.

Eerst worden de temporele functies vervangen door vectorafbeeldingen, vervolgens wordt elke vector ontleed in twee onderling loodrechte componenten, vervolgens worden de horizontale en verticale componenten afzonderlijk berekend en tenslotte worden de waarden van de resulterende vector en zijn beginfase bepaald.

Deze berekeningsmethode elimineert de noodzaak om grafisch sinusvormige curven toe te voegen (en in sommige gevallen complexere bewerkingen uit te voeren, bijvoorbeeld vermenigvuldigen, delen, wortels extraheren, enz.) en toevlucht te nemen tot berekeningen met behulp van de formules van schuine driehoeken.

Het is echter nogal omslachtig om de horizontale en verticale componenten van de operatie afzonderlijk te berekenen.Bij dergelijke berekeningen is het erg handig om zo'n wiskundig apparaat te hebben waarmee je beide componenten tegelijk kunt berekenen.

Al aan het einde van de vorige eeuw werd een methode ontwikkeld die het gelijktijdig berekenen van getallen op loodrecht op elkaar staande assen mogelijk maakt. De getallen op de horizontale as werden reëel genoemd en de getallen op de verticale as imaginair. Bij het berekenen van deze getallen wordt bij de reële getallen een factor ± 1 opgeteld en bij de imaginaire getallen ± j (lees "xi"). Getallen bestaande uit reële en imaginaire delen worden genoemd complex, en de berekeningsmethode die met hun hulp wordt uitgevoerd, is symbolisch.

Laten we de term «symbolisch» uitleggen. De te berekenen functies (in dit geval harmonischen) zijn originelen en de uitdrukkingen die de originelen vervangen zijn afbeeldingen of symbolen.

Bij gebruik van de symbolische methode worden alle berekeningen niet op de originelen zelf uitgevoerd, maar op hun symbolen (afbeeldingen), die in ons geval de overeenkomstige complexe getallen vertegenwoordigen, aangezien het veel gemakkelijker is om bewerkingen op afbeeldingen uit te voeren dan op de originelen zelf.

Nadat alle beeldbewerkingen zijn voltooid, wordt het origineel dat overeenkomt met het resulterende beeld vastgelegd op het resulterende beeld. De meeste berekeningen in elektrische circuits worden gedaan met behulp van de symbolische methode.