Stroming en circulatie van een vectorveld

NGebaseerd op het lesmateriaal van Richard Feynman

Bij het beschrijven van de wetten van elektriciteit in termen van vectorvelden, worden we geconfronteerd met twee wiskundig belangrijke kenmerken van het vectorveld: flux en circulatie. Het zou leuk zijn om te begrijpen wat deze wiskundige concepten zijn en wat hun praktische betekenis is.

Het tweede deel van de vraag is gemakkelijk meteen te beantwoorden omdat de begrippen stroming en circulatie centraal staan vergelijkingen van Maxwell, waarop eigenlijk alle moderne elektrodynamica rust.

De wet van elektromagnetische inductie kan dus bijvoorbeeld als volgt worden geformuleerd: de circulatie van het elektrische veld E langs een gesloten lus C is gelijk aan de veranderingssnelheid van de flux van het magnetische veld B door het oppervlak S dat hierdoor wordt begrensd lus B.

In wat volgt zullen we op eenvoudige wijze aan de hand van duidelijke vloeiende voorbeelden beschrijven hoe de veldkarakteristieken wiskundig worden bepaald, waaruit deze veldkarakteristieken worden gehaald en verkregen.

Vectorveldflux

Laten we om te beginnen een bepaald gesloten oppervlak tekenen met een volledig willekeurige vorm rond het te bestuderen gebied. Nadat we dit oppervlak hebben afgebeeld, vragen we ons af of het object van studie, dat we een veld noemen, door dit gesloten oppervlak stroomt. Overweeg een eenvoudig vloeibaar voorbeeld om te begrijpen waar dit allemaal over gaat.

Laten we zeggen dat we het snelheidsveld van een bepaalde vloeistof onderzoeken. Voor zo'n voorbeeld is het logisch om te vragen: gaat er per tijdseenheid meer vloeistof door dit oppervlak dan er in het volume dat door dit oppervlak wordt begrensd, stroomt? Met andere woorden, wordt het uitstroomdebiet altijd primair van binnenuit gestuurd?

Door de uitdrukking "vectorveldflux" (en voor ons voorbeeld zal de uitdrukking "fluid velocity flux" nauwkeuriger zijn), zullen we overeenkomen de totale hoeveelheid denkbeeldige vloeistof te noemen die door het oppervlak van het beschouwde volume stroomt, begrensd door gegeven a gesloten oppervlak (voor het vloeistofdebiet, hoeveel vloeistof volgt uit het volume per tijdseenheid).

Hierdoor zal de flux door het oppervlakte-element gelijk zijn aan het product van de oppervlakte van het oppervlakte-element door de loodrechte component van de snelheid. Dan is de totale (totale) flux over het gehele oppervlak gelijk aan het product van de gemiddelde normaalcomponent van de snelheid, die we van binnenuit gaan tellen, door het totale oppervlak.

Nu terug naar het elektrische veld. Het elektrische veld kan natuurlijk niet worden beschouwd als de snelheid van de stroom van een vloeistof, maar we hebben het recht om een ​​wiskundig concept van de stroom te introduceren, vergelijkbaar met wat we hierboven beschreven als de stroom van de snelheid van de vloeistof.

Alleen in het geval van een elektrisch veld kan de flux ervan worden bepaald door de gemiddelde normale component van de elektrische veldsterkte E. Bovendien kan de flux van het elektrische veld niet noodzakelijkerwijs worden bepaald door een gesloten oppervlak, maar door elk begrensd oppervlak van niet-nul gebied S .

Circulatie van een vectorveld

Het is bij iedereen bekend dat voor meer duidelijkheid velden kunnen worden weergegeven in de vorm van zogenaamde krachtlijnen, waarbij op elk punt de richting van de raaklijn samenvalt met de richting van de veldsterkte.

Laten we teruggaan naar de vloeistofanalogie en ons het snelheidsveld van de vloeistof voorstellen.Laten we onszelf een vraag stellen: circuleert de vloeistof? Dat wil zeggen, beweegt het zich voornamelijk in de richting van een denkbeeldige gesloten lus?

Stel je voor meer duidelijkheid voor dat de vloeistof in een grote container op de een of andere manier beweegt (Fig. A) en we bevriezen plotseling bijna het hele volume, maar slaagden erin om het volume onbevroren te laten in de vorm van een uniform gesloten buis waarin geen wrijving van de vloeistof op de wanden (fig. b).

Buiten deze buis is de vloeistof in ijs veranderd en kan daarom niet meer bewegen, maar binnen de buis kan de vloeistof zijn beweging voortzetten, mits er een overheersend momentum is dat hem voortstuwt, bijvoorbeeld met de klok mee (fig. .°C). Dan wordt het product van de vloeistofsnelheid in de buis en de lengte van de buis de vloeistofsnelheidscirculatie genoemd.

Evenzo kunnen we een circulatie definiëren voor een vectorveld, hoewel we wederom niet kunnen zeggen dat het veld de snelheid van iets is, kunnen we niettemin het wiskundige kenmerk van "circulatie" langs een contour definiëren.

Dus de circulatie van een vectorveld langs een denkbeeldige gesloten lus kan worden gedefinieerd als het product van de gemiddelde tangentiële component van de vector in de richting van de passage van de lus - door de lengte van de lus.