Grondbeginselen en wetten van de algebra van de logica

Ierse wiskundige uit het midden van de 19e eeuw George Bull ontwikkelde de algebra van de logica ("Studie van de wetten van het denken"). Daarom wordt de algebra van de logica ook wel genoemd booleaanse algebra.

Door letteraanduidingen te geven, de bewerkingen van logische transformaties uit te drukken in actiesymbolen en de regels en axioma's te gebruiken die voor deze acties zijn vastgesteld, maakt de algebra van de logica het mogelijk dat het redeneerproces bij het oplossen van een probleem dat wordt gegeven in termen van verklaringslogica, volledig wordt beschreven in algoritmen. , dat wil zeggen, om een ​​wiskundig geschreven programma te hebben dat dit probleem oplost.

Om de waarheid of onwaarheid van uitspraken aan te geven (dat wil zeggen, om waarden te introduceren voor het evalueren van uitspraken), gebruikt de algebra van de logica een binair systeem, handig in dit geval. Als de bewering waar is, krijgt ze de waarde 1, als ze onwaar is, krijgt ze de waarde 0. In tegenstelling tot binaire getallen drukken logische 1-en en 0-en geen grootheid uit, maar een toestand.

Dus in elektrische circuits beschreven met behulp van Booleaanse algebra, waarbij 1 de aanwezigheid van spanning is en 0 de afwezigheid ervan, is de toevoer van spanningen van verschillende bronnen naar één knooppunt van het circuit (dat wil zeggen de aankomst van verschillende logische eenheden ervan) wordt ook weergegeven als een logische eenheid die niet de totale spanning op het knooppunt aangeeft, maar alleen de aanwezigheid ervan.

Bij het beschrijven van de ingangs- en uitgangssignalen van de logische circuits worden variabelen gebruikt die alleen de waarden van logische 0 of 1 aannemen. De afhankelijkheid van de uitgangssignalen van de ingang wordt bepaald logische operatie (functie)… Laten we de invoervariabelen aanduiden met X1 en X2, en de uitvoer verkregen door een logische bewerking erop met y.

Denk er nog eens over na drie fundamentele elementaire logische bewerkingen, met behulp waarvan steeds complexere kunnen worden beschreven.

1. OF-bewerking — logische toevoeging:

Gegeven alle mogelijke waarden van de variabelen, kan men de OR-bewerking definiëren als de toereikendheid van ten minste één eenheid in de invoer om er één in de uitvoer te produceren. De naam van de bewerking wordt verklaard door de semantische betekenis van de vereniging OR in de zin: «Als OR één invoer is OF de tweede één is, dan is de uitvoer één.»

2. Bewerking AND — logische vermenigvuldiging:

Van het beschouwen van de volledige set waarden van de variabelen, wordt de EN-bewerking gedefinieerd als de noodzaak om alle enen op de ingangen te matchen om een ​​​​één op de uitgang te krijgen: “Als EN één invoer is en de tweede één is, dan de uitvoer is één. «

3. Operatie NOT — logische ontkenning of inversie. Dit wordt aangegeven door een balk boven de variabele.

Bij omkering wordt de waarde van de variabele omgekeerd.

Basiswetten van logische algebra:

1. De wet van de nulset: het product van een willekeurig aantal variabelen verdwijnt als een van de variabelen nul is, ongeacht de waarden van andere variabelen:

2. De wet van de universele verzameling — de som van een willekeurig aantal variabelen wordt één als ten minste één van de variabelen de waarde één heeft, ongeacht andere variabelen:

3. De wet van herhaling — herhaalde variabelen in de uitdrukking kunnen worden weggelaten (met andere woorden, er is geen machtsverheffen en vermenigvuldiging met een numerieke coëfficiënt in Booleaanse algebra):

4. De wet van dubbele inversie — de tweemaal uitgevoerde inversie is een lege operatie:

5. Wet van complementariteit — het product van elke variabele en zijn inverse is nul:

6. De som van elke variabele en zijn wederkerigheid is één:

7. Beschermende wetten — het resultaat van het uitvoeren van vermenigvuldigings- en optelbewerkingen hangt niet af van de volgorde waarin de variabelen volgen:

8. Gecombineerde wetten — tijdens vermenigvuldigings- en optelbewerkingen kunnen variabelen in willekeurige volgorde worden gegroepeerd:

9. Distributiewetten — het is toegestaan ​​de totale coëfficiënt buiten de haakjes te plaatsen:

10. Wetten van absorptie — manieren aangeven om uitdrukkingen te vereenvoudigen waarbij een variabele in alle factoren en termen betrokken is:

11. De wetten van De Morgan — de inversie van het product is de som van de inversies van de variabelen:

de inversie van de som is het product van de inversies van de variabelen: