Contactwetten Circuitalgebra, Booleaanse algebra

Een analytisch verslag van de structuur en bedrijfsomstandigheden van relaiscircuits maakt het mogelijk om analytische equivalente transformaties van circuits uit te voeren, dat wil zeggen door structuurformules te transformeren en schema's te vinden die vergelijkbaar zijn in hun werking. Conversiemethoden zijn speciaal ontwikkeld voor structuurformules die contactcircuits uitdrukken.

Voor contactcircuits wordt het wiskundige apparaat van de algebra van de logica gebruikt, meer bepaald een van de eenvoudigste varianten ervan, propositierekening of Booleaanse algebra genoemd (naar de wiskundige van de vorige eeuw J. Boole).

De propositierekening is oorspronkelijk ontwikkeld om de afhankelijkheid te bestuderen (de waarheid of onwaarheid van complexe oordelen over de waarheid of onwaarheid van de eenvoudige proposities waaruit ze zijn samengesteld. In wezen is de propositierekening een algebra van twee getallen, dat wil zeggen een algebra in waarbij elk afzonderlijk argument en elke functie een van twee waarden kan hebben.

Dit bepaalt de mogelijkheid om Booleaanse algebra te gebruiken om contactcircuits te transformeren, aangezien elk van de argumenten (contacten) in de structuurformule slechts twee waarden kan aannemen, dat wil zeggen, het kan gesloten of open zijn, en de hele functie vertegenwoordigd door de structurele de formule kan zowel een gesloten als een open lus uitdrukken.

Booleaanse algebra introduceert:

1) objecten die, net als in de gewone algebra, namen hebben: onafhankelijke variabelen en functies - echter, in tegenstelling tot gewone algebra, kunnen beide in Booleaanse algebra slechts twee waarden aannemen: 0 en 1;

2) logische basisbewerkingen:

• logische optelling (of disjunctie, logische OR, aangegeven door het teken ?), die als volgt wordt gedefinieerd: het resultaat van de bewerking is 0 als en slechts als alle argumenten van de bewerking gelijk zijn aan 0, anders is het resultaat 1;

• logische vermenigvuldiging (of aaneenschakeling, logische EN, aangegeven door ?, of helemaal niet gespecificeerd) die als volgt wordt gedefinieerd: het resultaat van de bewerking is 1 als en slechts als alle argumenten van de bewerking gelijk zijn aan 1, anders is het resultaat is 0;

• ontkenning (of vice versa, logische NOT, aangegeven door een balk boven het argument), die als volgt wordt gedefinieerd: het resultaat van de bewerking heeft de tegenovergestelde waarde van het argument;

3) axioma's (wetten van Booleaanse algebra), die de regels definiëren voor het transformeren van logische uitdrukkingen.

Merk op dat elk van de logische bewerkingen zowel op variabelen als op functies kan worden uitgevoerd, die hieronder Booleaanse functies worden genoemd... Bedenk dat, naar analogie met gewone algebra, in Booleaanse algebra de bewerking van logische vermenigvuldiging voorrang heeft op de logische toevoeging operatie.

Booleaanse uitdrukkingen worden gevormd door logische bewerkingen op een aantal objecten (variabelen of functies) te combineren, de zogenaamde argumenten van de bewerking.

De transformatie van logische uitdrukkingen met behulp van de wetten van de Booleaanse algebra wordt meestal uitgevoerd met als doel minimaliseren, want hoe eenvoudiger de uitdrukking, hoe kleiner de complexiteit van de logische keten, wat de technische implementatie van de logische uitdrukking is.

De wetten van de Booleaanse algebra worden gepresenteerd als een reeks axioma's en consequenties. Deze kunnen eenvoudig worden gecontroleerd door verschillende waarden van de variabelen te vervangen.

De technische analoog van elke logische uitdrukking voor een Booleaanse functie is een logisch diagram... In dit geval zijn de variabelen waarvan een Booleaanse functie afhangt verbonden met de externe ingangen van dit circuit, de waarde van een Booleaanse functie wordt gevormd aan de externe uitvoer van het circuit, en elke logische bewerking in een logische uitdrukking wordt geïmplementeerd door een logisch element.

Voor elke set ingangssignalen aan de uitgang van het logische circuit wordt dus een signaal gegenereerd dat overeenkomt met de waarde van een booleaanse functie van deze set variabelen (verderop zullen we de volgende conventie gebruiken: 0 - laag signaalniveau , 1 — hoog signaalniveau).

Bij het construeren van logische circuits gaan we ervan uit dat de variabelen in een parafasecode aan de invoer worden ingevoerd (dat wil zeggen dat zowel directe als inverse waarden van de variabelen beschikbaar zijn).

Tabel 1 toont de conventionele grafische aanduidingen van sommige logische elementen in overeenstemming met GOST 2.743-91, evenals hun buitenlandse tegenhangers.

Naast de elementen die de drie bewerkingen van Booleaanse algebra uitvoeren (AND, OR, NOT), in tab. 1 toont de elementen die bewerkingen uitvoeren die zijn afgeleid van de main:

— AND -NOT — ontkenning van logische vermenigvuldiging, ook Schaefer-zet genoemd (aangegeven met |)

— OF -NIET — ontkenning van logisch complement, ook wel de pijl van Peirce genoemd (aangegeven met ?)

Door logische poorten serieel met elkaar te verbinden, kunt u elke Booleaanse functie implementeren.

Structuurformules die relaiscircuits in het algemeen uitdrukken, d.w.z. symbolen bevatten van reagerende adelaars, kunnen niet worden beschouwd als functies van twee waarden die alleen een gesloten of open circuit uitdrukken. Daarom ontstaan ​​er bij het werken met dergelijke functies een aantal nieuwe afhankelijkheden die de grenzen van de Booleaanse algebra overschrijden.

In de Booleaanse algebra zijn er vier paren basiswetten: twee verplaatsingen, twee combinatorische, twee distributieve en twee legale inversies. Deze wetten stellen de gelijkwaardigheid van verschillende uitdrukkingen vast, dat wil zeggen, ze beschouwen uitdrukkingen die door elkaar kunnen worden vervangen, zoals de vervanging van identiteiten in gewone algebra. Als equivalentiesymbool nemen we het symbool dat hetzelfde is als het gelijkheidssymbool in de gewone algebra (=).

De geldigheid van de wetten van de Booleaanse algebra voor contactcircuits zal worden vastgesteld door circuits te beschouwen die overeenkomen met de linker- en rechterkant van equivalente uitdrukkingen.

Reiswetten

Toevoegen: x + y = y + x

De schema's die overeenkomen met deze uitdrukkingen worden getoond in Fig. 1, een.

De linker en rechter circuits zijn normaal open circuits, die elk sluiten wanneer een van de elementen (X of Y) wordt geactiveerd, dat wil zeggen dat deze circuits equivalent zijn. Voor vermenigvuldigen geldt: x ·y = y ·NS.

De schema's die overeenkomen met deze uitdrukkingen worden getoond in Fig. 1b, hun gelijkwaardigheid ligt ook voor de hand.

Rijst. 1

Wetten van combinatie

Voor optellen: (x + y) + z = x + (y + z)

Voor vermenigvuldiging: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

De paren equivalente circuits die overeenkomen met deze uitdrukkingen worden getoond in Fig. 2, een, b

Rijst. 2

Distributiewetten

Vermenigvuldigen versus optellen: (x + y) +z = x + (y + z)

Optellen versus vermenigvuldigen. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

De schema's die overeenkomen met deze uitdrukkingen worden getoond in Fig. 3, een, b.

Rijst. 3.

De gelijkwaardigheid van deze schema's kan eenvoudig worden geverifieerd door verschillende combinaties van contactactivering te overwegen.

Wetten van inversie

Optellen: NS + c = NS·c

De balk boven de linkerkant van de uitdrukking is een ontkennings- of inversieteken. Dit teken geeft aan dat de hele functie de tegenovergestelde betekenis heeft ten opzichte van de uitdrukking onder het ontkenningsteken. Het is niet mogelijk om een ​​diagram te tekenen dat overeenkomt met de gehele inverse functie, maar men kan wel een diagram tekenen dat overeenkomt met de uitdrukking onder het negatieve teken. De formule kan dus worden geïllustreerd met de diagrammen in Fig. 4, een.

Rijst. 4.

Het linker diagram komt overeen met de uitdrukking x + y, en het rechter diagram met NS ·c

Deze twee circuits zijn in werking tegengesteld aan elkaar, namelijk: als het linker circuit met onaangeslagen elementen X, Y een open circuit is, dan is het rechter circuit gesloten. Als in het linker circuit, wanneer een van de elementen wordt geactiveerd, het circuit sluit en in het rechter circuit juist opent.

Aangezien, volgens de definitie van negatief teken, de functie x + y de inverse is van de functie x + y, ligt het voor de hand dat x + y = NS·in.

Wat betreft vermenigvuldigen: NS · c = NS + c

De overeenkomstige schema's worden getoond in Fig. 4, geb.

Translocatieve en combinatorische wetten en de distributieve wet van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen (komen overeen met vergelijkbare wetten van de gewone algebra).Daarom kunt u, in het geval van transformatie van structuurformules in de volgorde van optellen en vermenigvuldigen van termen, plaatsen van termen buiten haakjes en uitbreiden van haakjes, de regels volgen die zijn vastgesteld voor het werken met gewone algebraïsche uitdrukkingen. De distributieve wet van optellen met betrekking tot vermenigvuldiging en de wetten van inversie zijn specifiek voor Booleaanse algebra.