De wet van Biot-Savart en de stelling van de circulatie van de magnetische inductievector

In 1820 stelden de Franse wetenschappers Jean-Baptiste Biot en Félix Savard, tijdens gezamenlijke experimenten om de magnetische velden van gelijkstromen te bestuderen, ondubbelzinnig vast dat de magnetische inductie van een gelijkstroom die door een geleider vloeit, kan worden beschouwd als het resultaat van de algemene actie van alle secties van deze draad met stroom. Dit betekent dat het magnetische veld gehoorzaamt aan het principe van superpositie (het principe van superpositie van velden).

Het magnetische veld dat wordt gecreëerd door een groep gelijkstroomdraden heeft het volgende magnetische inductiedat de waarde ervan wordt gedefinieerd als de vectorsom van de magnetische inducties die door elke geleider afzonderlijk worden gecreëerd. Dat wil zeggen, de inductie B van de gelijkstroomgeleider kan redelijk worden weergegeven door de vectorsom van de elementaire inducties dB behorend bij de elementaire secties dl van de beschouwde gelijkstroomgeleider I.

Het is praktisch onrealistisch om een ​​elementair deel van een gelijkstroomgeleider te isoleren, omdat gelijkstroom altijd gesloten.Maar je kunt de totale magnetische inductie meten die wordt gecreëerd door een draad, dat wil zeggen gegenereerd door alle elementaire delen van een bepaalde draad.

Met de wet van Biot-Sovar kunt u dus de waarde vinden van de magnetische inductie B van het gedeelte (bekende lengte dl) van de geleider, met een gegeven gelijkstroom I, op een bepaalde afstand r van dit gedeelte van de geleider en in een bepaalde waarnemingsrichting van de geselecteerde sectie (ingesteld door de sinus van de hoek tussen de richting van de stroom en de richting van de sectie van de geleider naar het onderzochte punt in de ruimte nabij de geleider):

Experimenteel werd vastgesteld dat de richting van de magnetische inductievector gemakkelijk kan worden bepaald door de rechterschroef of cardanische regel: als de richting van de translatiebeweging van de cardanische ophanging tijdens zijn rotatie samenvalt met de richting van gelijkstroom I in de draad, dan draairichting van de cardanische handgreep bepaalt de richting van de magnetische inductievector B geproduceerd door een gegeven stroom.

Het magnetische veld van een rechte stroomvoerende draad, evenals een illustratie van de toepassing van de wet van Bio-Savart erop, worden getoond in de figuur:

Dus als we de bijdrage van elk van de kleine secties van een constante stroomgeleider aan het totale magnetische veld integreren, dat wil zeggen optellen, krijgen we een formule voor het vinden van de magnetische inductie van een stroomgeleider op een bepaalde straal R ervan af .

Op dezelfde manier kunt u met behulp van de wet van Bio-Savard de magnetische inductie berekenen van gelijkstromen met verschillende configuraties en op bepaalde punten in de ruimte, bijvoorbeeld de magnetische inductie in het midden van een cirkelvormig circuit met een stroom wordt gevonden door de volgende formule:

De richting van de magnetische inductievector is gemakkelijk te vinden volgens de cardanische regel, alleen nu moet de cardanische ophanging in de richting van de gesloten stroom worden gedraaid en de voorwaartse beweging van de cardanische ophanging zal de richting van de magnetische inductievector laten zien.

Vaak kunnen berekeningen met betrekking tot het magnetische veld worden vereenvoudigd als we rekening houden met de symmetrie van de configuratie van stromen die wordt gegeven door het genererende veld. Hier kunt u de stelling van de circulatie van de magnetische inductievector gebruiken (zoals de stelling van Gauss in de elektrostatica). Wat is "circulatie van de magnetische inductievector"?

Laten we in de ruimte een bepaalde gesloten lus van willekeurige vorm kiezen en conditioneel de positieve richting van zijn beweging aangeven.Voor elk punt van deze lus kun je de projectie vinden van de magnetische inductievector B op de raaklijn aan de lus op dat punt. Dan is de som van de producten van deze grootheden door de elementaire lengtes van alle secties van de contour de circulatie van de magnetische inductievector B langs deze contour:

Vrijwel alle stromen die hier een algemeen magnetisch veld creëren, kunnen het circuit in kwestie binnendringen, of sommige kunnen zich erbuiten bevinden. Volgens de circulatiestelling: de circulatie van de magnetische inductievector B van gelijkstromen in een gesloten lus is numeriek gelijk aan het product van de magnetische constante mu0 door de som van alle gelijkstromen die de lus binnendringen. Deze stelling is geformuleerd door Andre Marie Ampere in 1826:

Beschouw de figuur hierboven. Hier dringen de stromen I1 en I2 door het circuit, maar ze zijn in verschillende richtingen gericht, wat betekent dat ze voorwaardelijk verschillende tekens hebben.Het positieve teken heeft een stroom waarvan de richting van magnetische inductie (volgens de basisregel) samenvalt met de richting van de bypass van het geselecteerde circuit. Voor deze situatie heeft de circulatiestelling de vorm:

In het algemeen volgt de stelling voor de circulatie van de magnetische inductievector B uit het superpositieprincipe van het magnetische veld en de wet van Biot-Savard.

We leiden bijvoorbeeld de formule af voor de magnetische inductie van een gelijkstroomgeleider. Laten we een contour kiezen in de vorm van een cirkel, door het midden waarvan deze draad gaat, en de draad staat loodrecht op het vlak van de contour.

Het middelpunt van de cirkel ligt dus direct in het midden van de geleider, dat wil zeggen in de geleider. Omdat het beeld symmetrisch is, is de vector B tangentieel gericht op de cirkel, en zijn projectie op de raaklijn is daarom overal hetzelfde en gelijk aan de lengte van vector B. De circulatiestelling wordt als volgt geschreven:

Daarom volgt de formule voor de magnetische inductie van een rechte geleider met gelijkstroom (deze formule is hierboven al gegeven). Evenzo kan men met behulp van de circulatiestelling gemakkelijk de magnetische inducties van symmetrische DC-configuraties vinden waar het beeld van de veldlijnen gemakkelijk te visualiseren is.

Een van de praktisch belangrijke voorbeelden van de toepassing van de circulatiestelling is het vinden van het magnetische veld in een toroïdale inductor.

Stel dat er een toroïdale spoel is die rond op rond is gewikkeld op een donutvormig kartonnen frame met het aantal windingen N. In deze configuratie zijn de magnetische inductielijnen ingesloten in de donut en zijn ze concentrische (in elkaar) cirkels van vorm .

Als je in de richting van de magnetische inductievector langs de binnenas van de donut kijkt, blijkt dat de stroom overal met de klok mee is gericht (volgens de cardanische regel). Beschouw een van de lijnen (weergegeven in rood) van magnetische inductie in de spoel en kies deze als een cirkelvormige lus met straal r. Dan wordt de circulatiestelling voor een bepaald circuit als volgt geschreven:

En de magnetische inductie van het veld in de spoel is gelijk aan:

Voor een dunne ringkernspoel, waar het magnetische veld bijna uniform is over de gehele doorsnede, is het mogelijk om de uitdrukking voor de magnetische inductie te schrijven alsof voor een oneindig lange solenoïde, rekening houdend met het aantal windingen per lengte-eenheid - N :

Beschouw nu een oneindig lange solenoïde waar het magnetische veld volledig binnen zit. We passen de circulatiestelling toe op de geselecteerde rechthoekige contour.

Hier geeft de magnetische inductievector alleen op zijde 2 een projectie die niet nul is (de lengte is gelijk aan L). Met behulp van de parameter n — «het aantal windingen per lengte-eenheid», krijgen we zo'n vorm van de circulatiestelling, die uiteindelijk reduceert tot dezelfde vorm als voor een multitonCoy ringkernspoel: