Grafische weergave van sinusvormige waarden

In elk lineair circuit, ongeacht het type elementen in het circuit, veroorzaakt een harmonische spanning een harmonische stroom, en vice versa genereert een harmonische stroom spanningen aan de klemmen van deze elementen, ook met een harmonische vorm. Merk op dat de inductantie van de spoelen en de capaciteit van de condensatoren ook lineair worden verondersteld.

In een meer algemeen geval kunnen we zeggen dat in lineaire circuits met harmonische invloeden alle reacties ook een harmonische vorm hebben. Daarom hebben in elk lineair circuit alle momentane spanningen en stromen dezelfde harmonische vorm. Als het circuit op zijn minst een paar elementen bevat, zijn er veel sinusvormige curven, overlappen deze timingdiagrammen elkaar, is het erg moeilijk om ze te lezen en wordt de studie buitengewoon onhandig.

Om deze redenen wordt de studie van processen die plaatsvinden in circuits onder harmonische invloeden niet uitgevoerd met sinusvormige krommen, en met behulp van vectoren, waarvan de lengtes worden genomen in verhouding tot de maximale waarden van de krommen, en de hoeken waaronder de vectoren worden geplaatst zijn gelijk aan de hoeken tussen de oorsprong van twee krommen of de oorsprong van de kromme en de oorsprong.Dus in plaats van tijddiagrammen, die veel ruimte innemen, worden hun afbeeldingen weergegeven in de vorm van vectoren, dat wil zeggen rechte lijnen met pijlen aan de uiteinden, en de pijlen voor spanningsvectoren worden gearceerd weergegeven en voor stroomvectoren ze blijven ongeschaduwd.

De verzameling vectoren van spanningen en stromen in een circuit wordt genoemd vectordiagram… De regel voor het tellen van hoeken in vectordiagrammen is deze: als het nodig is om een ​​vector te laten zien die een bepaalde hoek achterloopt op de startpositie, roteer de vector dan met de klok mee met die hoek. Een tegen de klok in gedraaide vector betekent voortschrijden met de gespecificeerde hoek.

In het diagram van Fig. 1 toont drie timingdiagrammen met dezelfde amplitudes maar verschillende beginfasen... Daarom moeten de lengtes van de vectoren die overeenkomen met deze harmonische spanningen hetzelfde zijn en moeten de hoeken verschillend zijn. Laten we onderling loodrechte coördinaatassen tekenen, de horizontale as met positieve waarden als uitgangspunt nemen, in dit geval moet de vector van de eerste spanning samenvallen met het positieve deel van de horizontale as, de vector van de tweede spanning moet met de klok mee worden gedraaid over een hoek ψ2 , en de derde spanningsvector moet tegen de klok in zijn. pijlen onder een hoek (fig. 1).

De lengtes van de vectoren zijn afhankelijk van de gekozen schaal, soms worden ze getekend met een willekeurige lengte in overeenstemming met de verhoudingen. Aangezien de maximum- en rms-waarden van alle harmonische grootheden altijd hetzelfde aantal keren verschillen (in √2 = 1,41), kunnen de maximum- en rms-waarden worden uitgezet op vectordiagrammen.

Het timingdiagram toont de waarde van de harmonische functie op elk moment volgens de vergelijking ti = Um sin ωt. Een vectordiagram kan de waarden ook op elk moment weergeven. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de vector die tegen de klok in roteert met een hoeksnelheid ω weer te geven en de projectie van deze vector op de verticale as te nemen. De resulterende projectielengtes gehoorzamen aan de wet ti = Um sinωt en vertegenwoordigen daarom momentane waarden op dezelfde schaal.De draairichting van de vector tegen de klok in wordt als positief beschouwd en met de klok mee als negatief.

Afb. 1

Afb. 2

Afb. 3

Overweeg een voorbeeld van het bepalen van momentane spanningswaarden met behulp van een vectordiagram. Aan de rechterkant van afb. 2 toont een tijddiagram en links een vectordiagram. Laat de initiële fasehoek nul zijn. In dit geval, op het moment t = 0, is de momentane waarde van de spanning nul en valt de vector die overeenkomt met dit tijddiagram samen met de positieve richting van de abscis-as, de projectie van deze vector op de verticale as op dit moment is ook nul, t .is de lengte van de projectie komt overeen met de momentane waarde van de sinusgolf.

Na tijd t = T / 8 wordt de fasehoek gelijk aan 45 ° en de momentane waarde Um sin ωt = Um sin 45 ° = = 0,707 Um. Maar de straalvector zal gedurende deze tijd ook draaien onder een hoek van 45 ° en de projectie van deze vector wordt ook 0,707 Um. Na t = T / 4 zal de momentane waarde van de curve U bereiken, maar de straalvector wordt ook 90 ° geroteerd. De projectie op de verticale as op dit punt wordt gelijk aan de vector zelf, waarvan de lengte evenredig is met de maximale waarde.Evenzo kunt u op elk moment de huidige waarden bepalen.

Zo worden alle bewerkingen die op de een of andere manier met sinusoïdale krommen moeten worden uitgevoerd, gereduceerd tot bewerkingen die niet met sinusoïden zelf worden uitgevoerd, maar met hun afbeeldingen, dat wil zeggen met hun overeenkomstige vectoren. Er is bijvoorbeeld een circuit in Fig. 3, a, waarin het nodig is om de equivalente curve van de momentane spanningswaarden te bepalen. Om een ​​gegeneraliseerde kromme grafisch te bouwen, is het noodzakelijk om een ​​zeer omslachtige operatie uit te voeren door twee krommen gevuld met punten grafisch toe te voegen (Fig. 3, b). Om analytisch twee sinusoïden op te tellen, is het noodzakelijk om de maximale waarde van de equivalente sinusoïde te vinden:

en de beginfase

(In dit voorbeeld wordt Um eq verkregen gelijk aan 22,36 en ψek = 33 °.) Beide formules zijn omslachtig, buitengewoon onhandig voor berekeningen, dus in de praktijk worden ze zelden gebruikt.

Laten we nu de temporale sinusoïden vervangen door hun afbeeldingen, dat wil zeggen door vectoren. Laten we een schaal kiezen en de vector Um1 opzij zetten, die 30 achter de oorsprong van de coördinaten ligt, en de vector Um2, die een lengte heeft die 2 keer groter is dan de vector Um1, waardoor de oorsprong van de coördinaten met 60 ° wordt opgeschoven (Fig. 3, c) . De tekening na zo'n vervanging is aanzienlijk vereenvoudigd, maar alle berekeningsformules blijven hetzelfde, aangezien het vectorbeeld van sinusvormige grootheden de essentie van de zaak niet verandert: alleen de tekening is vereenvoudigd, maar niet de wiskundige relaties daarin (anders, de vervanging van tijddiagrammen door vector zou gewoon illegaal zijn.)

Het vervangen van harmonische grootheden door hun vectorrepresentaties vergemakkelijkt de berekeningstechniek dus nog steeds niet als deze berekeningen moeten worden uitgevoerd volgens de wetten van schuine driehoeken. Om de technologie van het berekenen van vectorgrootheden, een symbolische rekenmethode, drastisch te vereenvoudigen.