Maxwell's vergelijkingen voor een elektromagnetisch veld - de basiswetten van de elektrodynamica

Het systeem van Maxwell-vergelijkingen dankt zijn naam en uiterlijk aan James Clerk Maxwell, die deze vergelijkingen eind 19e eeuw formuleerde en schreef.

Maxwell James Clark (1831 - 1879) is een beroemde Britse natuurkundige en wiskundige, een professor aan de Universiteit van Cambridge in Engeland.

Hij combineerde in zijn vergelijkingen praktisch alle experimentele resultaten die destijds waren verkregen over elektriciteit en magnetisme, en gaf de wetten van elektromagnetisme een duidelijke wiskundige vorm. De basiswetten van de elektrodynamica (vergelijkingen van Maxwell) werden geformuleerd in 1873.

Maxwell ontwikkelde Faraday's leer van het elektromagnetische veld tot een coherente wiskundige theorie, waaruit de mogelijkheid volgt van golfvoortplanting van elektromagnetische processen. Het bleek dat de voortplantingssnelheid van elektromagnetische processen gelijk is aan de lichtsnelheid (waarvan de waarde al bekend was uit experimenten).

Dit toeval diende als basis voor Maxwell om het idee uit te drukken van de gemeenschappelijke aard van elektromagnetische en lichtverschijnselen, d.w.z. over de elektromagnetische aard van licht.

De theorie van elektromagnetische verschijnselen, gecreëerd door James Maxwell, vond zijn eerste bevestiging in de experimenten van Hertz, die voor het eerst verkregen elektromagnetische golven.

Als gevolg hiervan speelden deze vergelijkingen een belangrijke rol bij de vorming van nauwkeurige weergaven van de klassieke elektrodynamica. De vergelijkingen van Maxwell kunnen in differentiaal- of integraalvorm worden geschreven. In de praktijk beschrijven ze in de droge taal van de wiskunde het elektromagnetische veld en zijn relatie tot elektrische ladingen en stromen in vacuüm en in continue media. Aan deze vergelijkingen kun je toevoegen uitdrukking voor de Lorentzkracht, in welk geval we krijgen een compleet systeem van vergelijkingen van de klassieke elektrodynamica.

Om enkele van de wiskundige symbolen te begrijpen die in de differentiaalvormen van Maxwell's vergelijkingen worden gebruikt, moeten we eerst zoiets interessants definiëren als de nabla-operator.

Nabla-operator (of Hamilton-operator) Is een vectordifferentiaaloperator waarvan de componenten partiële afgeleiden zijn met betrekking tot de coördinaten. Voor onze reële ruimte, die driedimensionaal is, is een rechthoekig coördinatensysteem geschikt, waarvoor de operator nabla als volgt is gedefinieerd:

waarbij i, j en k eenheidscoördinaatvectoren zijn

De nabla-operator, op een wiskundige manier toegepast op een veld, geeft drie mogelijke combinaties. Deze combinaties heten:

Verloop — een vector, waarvan de richting de richting aangeeft van de grootste toename van een bepaalde grootheid, waarvan de waarde varieert van het ene punt in de ruimte tot het andere (scalair veld), en in grootte (module) gelijk is aan de groeisnelheid hiervan hoeveelheid in deze richting.

Divergentie (divergentie) — een differentiaaloperator die een vectorveld afbeeldt op een scalair veld (dat wil zeggen, als resultaat van het toepassen van de differentiatiebewerking op een vectorveld wordt een scalair veld verkregen), dat bepaalt (voor elk punt) "hoeveel het veld binnenkomt en laat een kleine buurt van een bepaald punt divergeren ”, meer precies hoe verschillend de instroom en uitstroom zijn.

Rotor (vortex, rotatie) is een vectordifferentiaaloperator over een vectorveld.

Denk nu helder na Vergelijkingen van Maxwell in integrale (links) en differentiële (rechts) vormmet de fundamentele wetten van elektrische en magnetische velden, inclusief elektromagnetische inductie.

Integrale vorm: de circulatie van de elektrische veldsterktevector langs een willekeurige gesloten lus is rechtevenredig met de veranderingssnelheid van de magnetische flux door het gebied dat wordt begrensd door deze lus.

Differentiële vorm: elke verandering in het magnetische veld produceert een wervel-elektrisch veld dat evenredig is met de veranderingssnelheid van de magnetische veldinductie.

Fysieke betekenis: elke verandering in het magnetische veld in de loop van de tijd veroorzaakt de verschijning van een wervel elektrisch veld.

Integrale vorm: de magnetische veldinductieflux door een willekeurig gesloten oppervlak is nul. Dit betekent dat er geen magnetische ladingen in de natuur zijn.

Differentiële vorm: de flux van veldinductielijnen van een magnetisch veld met een oneindig elementair volume is gelijk aan nul, aangezien het veld wervelend is.

Fysieke betekenis: in de natuur zijn er geen bronnen van magnetische velden in de vorm van magnetische ladingen.

Integrale vorm: de circulatie van de magnetische veldsterktevector langs een willekeurige gesloten lus is recht evenredig met de totale stroom die het oppervlak door deze lus doorkruist.

Differentiële vorm: Er bestaat een wervelmagnetisch veld rond elke stroomvoerende geleider en rond elk wisselend elektrisch veld.

Fysieke betekenis: de stroom van geleidende stroom door draden en de veranderingen in het elektrische veld met de tijd leiden tot het verschijnen van een wervelend magnetisch veld.

Integrale vorm: de flux van de elektrostatische inductievector door een willekeurig gesloten oppervlak dat de ladingen omsluit, is recht evenredig met de totale lading die zich binnen dat oppervlak bevindt.

Differentiële vorm: de flux van de inductievector van het elektrostatische veld van een oneindig elementair volume is rechtevenredig met de totale lading in dat volume.

Fysieke betekenis: de bron van het elektrische veld is een elektrische lading.

Het stelsel van deze vergelijkingen kan worden aangevuld met een stelsel van zogenaamde materiaalvergelijkingen die de eigenschappen karakteriseren van het materiële medium dat de ruimte vult: