De wet van Ohm in complexe vorm

Bij het berekenen van elektrische circuits met een wisselende sinusvormige stroom is de wet van Ohm in complexe vorm vaak nuttig. Een elektrisch circuit wordt hier opgevat als een lineair circuit in een stabiele bedrijfstoestand, dat wil zeggen een circuit waarin de transiënte processen zijn geëindigd en de stromen tot stand zijn gebracht.

De spanningsval, EMF-bronnen en stromen in de takken van zo'n circuit zijn gewoon trigonometrische functies van tijd. Als, zelfs in stabiele toestand, de huidige vorm van het circuit geen sinusoïde is (meander, zaagtand, impulsruis), dan is de wet van Ohm in complexe vorm niet langer van toepassing.

Op de een of andere manier wordt het tegenwoordig overal in de industrie gebruikt driefasig systeem met wisselende sinusvormige stroom… De spanning in dergelijke netwerken heeft een strikt gedefinieerde frequentie en effectieve waarde. De effectieve waarde «220 volt» of «380 volt» is te vinden in de markeringen van verschillende apparatuur, in de technische documentatie ervan. Om deze reden is de wet van Ohm, vanwege zo'n duidelijke eenwording, in complexe vorm handig bij veel berekeningen van elektrische circuits (waar deze wordt gebruikt in combinatie met de regels van Kirchhoff).

De gebruikelijke vorm van het schrijven van de wet van Ohm verschilt van de complexe vorm van de opname. In complexe vorm worden de aanduidingen van EMF, spanningen, stromen, weerstanden geschreven als complexe getallen… Dit is nodig om gemakkelijk rekening te houden met en berekeningen uit te voeren met zowel de actieve als reactieve componenten die voorkomen in AC-circuits.

Het is niet altijd mogelijk om de spanningsval simpelweg te nemen en te delen door de stroom, soms is het belangrijk om rekening te houden met de aard van de circuitsectie en dit dwingt ons tot enkele toevoegingen aan de wiskunde.

De symbolische methode (de methode met complexe getallen) elimineert de noodzaak om differentiaalvergelijkingen op te lossen bij het berekenen van het elektrische circuit van een sinusvormige stroom. Want in een AC-circuit komt het bijvoorbeeld voor dat er wel stroom staat maar geen spanningsval in het circuitgedeelte; of er is een spanningsval maar geen stroom in het circuit terwijl het circuit gesloten lijkt te zijn.

In DC-circuits is dit simpelweg onmogelijk. Daarom is de wet van AC en Ohm anders. Tenzij er een puur actieve belasting is in een enkelfasig circuit, kan het worden gebruikt met bijna geen verschillen met DC-berekeningen.

Een complex getal bestaat uit een imaginaire Im en een reëel deel Re en kan worden weergegeven door een vector in poolcoördinaten. Een vector wordt gekenmerkt door een bepaalde modulus en een hoek waaronder hij roteert rond de oorsprong van de coördinaten ten opzichte van de abscis-as. De modulus is de amplitude en de hoek is de beginfase.

Deze vector kan worden geschreven in trigonometrische, exponentiële of algebraïsche vormen.Het zal een symbolisch beeld zijn van echte fysieke verschijnselen, omdat er in werkelijkheid geen denkbeeldige en materiële kenmerken in de schema's zijn. Het is gewoon een handige methode om elektrische problemen met circuits op te lossen.

Complexe getallen kunnen worden gedeeld, vermenigvuldigd, opgeteld, verheven tot een macht. Deze bewerkingen moeten kunnen worden uitgevoerd om de wet van Ohm in complexe vorm toe te passen.

Weerstanden in wisselstroomcircuits zijn onderverdeeld in: actief, reactief en gemeenschappelijk. Bovendien moet geleidbaarheid worden onderscheiden. Elektrische capaciteit en inductantie hebben wisselstroomreagentia. Reactieve weerstand verwijzen naar het denkbeeldige deel en de actieve weerstand en geleidbaarheid - naar het echte deel, dat wil zeggen naar het volledig echte.

Het schrijven van weerstanden in symbolische vorm is fysiek logisch. Bij actieve weerstand wordt de elektriciteit feitelijk samen als warmte gedissipeerd De wet van Joule-Lenz, terwijl het capaciteit en inductantie heeft, wordt het omgezet in elektrische en magnetische veldenergie. En het is mogelijk om energie van de ene vorm in de andere om te zetten: van de energie van het magnetische veld in warmte, of van de energie van het elektrische veld, deels in magnetisch en deels in warmte, enzovoort.

Traditioneel worden stromen, spanningsdalingen en EMF's geschreven in trigonometrische vorm, waarbij rekening wordt gehouden met zowel amplitude als fase, wat duidelijk de fysieke betekenis van het fenomeen weerspiegelt. De hoekfrequentie van de spanningen en stromen kan verschillen; daarom is de algebraïsche notatievorm praktisch handiger.

De aanwezigheid van een hoek tussen stroom en spanning leidt ertoe dat tijdens oscillaties er momenten zijn waarop de stroom (of spanningsval) nul is en de spanningsval (of stroom) niet nul. Wanneer de spanning en stroom in dezelfde fase zijn, is de hoek ertussen een veelvoud van 180 °, en als de spanningsval nul is, is de stroom in het circuit nul. Dit zijn momentane waarden.

Dus als we de algebraïsche notatie begrijpen, kunnen we de wet van Ohm nu in complexe vorm schrijven. In plaats van de eenvoudige actieve weerstand (typisch voor DC-circuits), wordt hier de totale (complexe) weerstand Z geschreven en worden de effectieve waarden van emf, stromen en spanningen complexe grootheden.

Bij het berekenen van een elektrisch circuit met behulp van complexe getallen, is het belangrijk om te onthouden dat deze methode alleen van toepassing is op sinusvormige stroomcircuits en zich in een stabiele toestand bevindt.