Waarom complexe getallen worden gebruikt voor berekeningen in AC-circuits

Zoals u weet, worden complexe getallen gebruikt om enkele typische problemen in de elektrotechniek op te lossen. Maar waar worden ze voor gebruikt en waarom wordt het op deze manier gedaan? Dit is wat we in de loop van dit artikel zullen proberen te begrijpen. Het feit is dat de complexe methode of de methode van complexe amplitudes handig is voor het berekenen van complexe AC-circuits. En laten we om te beginnen enkele basisprincipes van de wiskunde in herinnering roepen:

Zoals je kunt zien omvat het complexe getal z het imaginaire deel en het reële deel, die van elkaar verschillen en anders worden aangeduid in de tekst. Het complexe getal z zelf kan worden geschreven in algebraïsche, trigonometrische of exponentiële vorm:

Historische achtergrond

Er wordt aangenomen dat het idee van denkbeeldige getallen begon in 1545, toen de Italiaanse wiskundige, ingenieur, filosoof, arts en astroloog Girolamo Cardano deze methode voor het oplossen van vergelijkingen publiceerde in zijn verhandeling "The Great Art", waar volgens onder andere , gaf hij toe dat Niccolò hem het idee 6 jaar voor de publicatie van dit werk aan Tartaglia (een Italiaanse wiskundige) had gegeven. In zijn werk lost Kradano vergelijkingen op van de vorm:

Tijdens het oplossen van deze vergelijkingen werd de wetenschapper gedwongen het bestaan ​​van een "onwerkelijk" getal toe te geven, waarvan het kwadraat gelijk zal zijn aan min één "-1", dat wil zeggen alsof er een vierkantswortel is van een negatief getal, en als het nu in het kwadraat is, zal het corresponderende negatieve getal onder de wortel blijken te zijn. Cardano verklaarde de regel van vermenigvuldiging, volgens welke:

Drie eeuwen lang was de wiskundige gemeenschap aan het wennen aan de nieuwe aanpak die Cardano voorstelde. Denkbeeldige getallen beginnen stilaan wortel te schieten, maar wiskundigen zijn terughoudend om te accepteren. Pas bij de publicatie van Gauss' werken over algebra, waarin hij de fundamentele stelling van de algebra bewees, werden complexe getallen eindelijk volledig geaccepteerd, de 19e eeuw was nabij.

Denkbeeldige getallen werden een echte redder in nood voor wiskundigen omdat de meest complexe problemen veel gemakkelijker op te lossen waren door het bestaan ​​van denkbeeldige getallen te accepteren.

Al snel kwam het dus op elektrotechniek aan. AC-circuits waren soms erg complex en er moesten veel integralen worden berekend om ze te berekenen, wat vaak erg onhandig was.

Eindelijk, in 1893, sprak de briljante elektrotechnisch ingenieur Carl August Steinmetz in Chicago op het International Electrotechnical Congress met een rapport "Complex numbers and their application in electrical engineering", dat feitelijk het begin markeerde van de praktische toepassing door ingenieurs van de complexe methode van elektrische circuits berekenen voor wisselstroom.

Dat kennen we uit de natuurkundecursus wisselstroom — dit is een stroom die in de loop van de tijd verandert in zowel grootte als richting.

In de technologie zijn er verschillende vormen van wisselstroom, maar de meest voorkomende is tegenwoordig sinusvormige wisselstroom, dit is wat overal wordt gebruikt, met behulp waarvan elektriciteit wordt overgedragen, in de vorm van wisselstroom, die wordt gegenereerd, omgezet door transformatoren en wordt verbruikt door belastingen. Een sinusvormige stroom verandert periodiek volgens een sinusvormige (harmonische) wet.

De effectieve waarden van de stroom en spanning zijn kleiner dan de amplitudewaarden van de wortel van twee keer:

In de complexe methode worden de effectieve waarden van stromen en spanningen als volgt geschreven:

Merk op dat in de elektrotechniek de denkbeeldige eenheid wordt aangeduid met de letter «j», aangezien de letter «i» hier al wordt gebruikt om stroom aan te duiden.

Van De wet van Ohm bepaalt de complexe waarde van de weerstand:

Optellen en aftrekken van complexe waarden gebeurt in algebraïsche vorm, en vermenigvuldigen en delen in exponentiële vorm.

Laten we eens kijken naar de methode van complexe amplitudes aan de hand van het voorbeeld van een specifiek circuit met bepaalde waarden van de belangrijkste parameters.

Een voorbeeld van het oplossen van een probleem met behulp van complexe getallen

Gegeven:

• spoelspanning 50 V,

• weerstand weerstand 25 Ohm,

• spoelinductantie 500 mH,

• de elektrische capaciteit van de condensator is 30 microfarads,

• spoelweerstand 10 Ohm,

• netfrequentie 50 Hz.

Zoek: ampèremeter- en voltmeterwaarden en wattmeter.

Antwoord:

Om te beginnen noteren we de complexe weerstand van in serie geschakelde elementen, die bestaat uit reële en imaginaire delen, daarna vinden we de complexe weerstand van een actief-inductief element.

herinneren! Om de exponentiële vorm te krijgen, zoek je de modulus z gelijk aan de vierkantswortel van de som van de kwadraten van de reële en imaginaire delen, en phi gelijk aan de arctangens van het quotiënt van het imaginaire deel gedeeld door het reële deel.

Vervolgens vinden we de stroom en dienovereenkomstig de aflezingen van de ampèremeter:

De ampèremeter geeft dus een stroom aan van 0,317 A, dat is de stroom door de hele serieschakeling.

Nu zullen we de capacitieve weerstand van de condensator vinden, daarna zullen we de complexe weerstand bepalen:

We berekenen dan de totale complexe impedantie van deze schakeling:

Nu vinden we de effectieve spanning die op het circuit wordt toegepast:

De voltmeter zal een effectieve spanning van 19,5 volt aangeven.

Als laatste vinden we het vermogen dat de wattmeter zal weergeven, rekening houdend met het faseverschil tussen stroom en spanning

De wattmeter geeft 3,51 watt aan.

Nu begrijp je hoe belangrijk complexe getallen zijn in de elektrotechniek. Ze worden gebruikt voor gemakkelijke berekening van elektrische circuits. Veel elektronische meettoestellen werken op dezelfde basis.